Паскаль. Основы программирования

и предпоследней цифр записи этого



1. Дано целое число n
 10. Написать программу получения последней и предпоследней цифр записи этого числа.
2. Даны три числа a, b, c. Написать программу, в результате которой числа удвоятся, если
 и числа будут заменены на их абсолютные величины в прочих случаях.
3. Составьте программы определения большего (меньшего) из трех чисел.
4. Написать программу, при выполнении которой выводится 1, если данное число x принадлежит отрезку [a, b], где a и b заданные числа, и выводится 0 в противоположной ситуации.
5. Точка плоскости задана своими координатами x, y. Написать программу, при выполнении которой определяется, принадлежит ли данная точка плоской фигуре, являющейся кольцом с центром в точке (0, 0), с внутренним радиусом 3 и с наружным радиусом 4.
6. Даны положительные числа x, y, z. Выяснить, существует ли треугольник с длинами сторон x, y, z?
7. Определить является ли данное целое число четным.
8. Определить, верно ли, что при делении целого неотрицательного числа a на целое положительное число b получается остаток r или s.
9. Составить программу решения биквадратного уравнения

 




10. Найти все трехзначные числа, при делении каждого из которых на 11 получается частное, равное сумме квадратов значений отдельных цифр данного числа.
11. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить через два знака влево, т. е. с этой цифры будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите это число.
12. Найдите все трехзначные числа, которые равны сумме кубов своих цифр.
13. Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.
14. Дано целое число
 Написать программу получения m последних цифр десятичной записи числа n.
15. Найти четырехзначное число, равное квадрату числа, выраженного двумя последними цифрами этого четырехзначного числа.
16. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, за исключением самого себя.
Число 6 является совершенным, так как 6 = 1 + 2 + 3, число 8 не является совершенным, так как 8 не равно 1 + 2 + 4. Написать программу вывода всех совершенных чисел, меньших заданного числа n.
17. Найти четырехзначные числа, каждое из которых делится на 11 и сумма цифр каждого равна 11.
18. Найти четырехзначные числа, которые, будучи приписаны справа к числу 400, дают полный квадрат.


19. Найти наименьшее целое число, делящееся на 7, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6 дает в остатке 1.
20. Какие числа, заключенные между числами 2320 и 2350 простые, а какие составные?
21. Составьте программу для нахождения наименьшего нечетного неравного 1 натурального делителя любого заданного натурального числа, большего 1.
22. Найти двузначное число, которое на 6 меньше квадрата суммы своих цифр.
23. Дана сократимая дробь, ее числитель и знаменатель - натуральные числа m и n. Найти такие натуральные числа m1 и n1, не имеющие общих делителей, что
, т. е. сократить дробь

24. Напишите программу, которая для каждого из целых чисел от 1 до n напечатает все его делители. Например, для числа 35 - делители: 1, 5, 7, 35. Аналогичный список делителей должен быть выдан для каждого из чисел от 1 до заданного числа n.
25. Найти наименьшее натуральное число n, обладающее следующими свойствами: а) его запись в десятичной системе счисления оканчивается цифрой 6;
    б) если переставить цифру 6 из конца числа в его начало, то полученное число будет в 4 раза больше данного.
26. Написать программу вывода всех натуральных чисел, меньших n, квадрат суммы цифр которых равен m.
27. Можно ли данное целое p представить в виде суммы двух квадратов целых чисел? Написать программу решения этой задачи.
28. Найти все четырехзначные числа 
, удовлетворяющие условию:
 = (
+
).
29. Найти числа, оканчивающиеся на цифру a (a = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и обладающее тем свойством, что если последнюю цифру переставить в начало числа, то число увеличится во столько раз, сколько единиц в переставляемом числе.
30. Найти целые числа n, делящиеся на все простые числа, не большие
.
31. Составьте программу для проверки, можно ли заданное натуральное число представить в виде:
а) произведения двух простых чисел; б) произведения трех простых чисел;
в) квадрата какого-либо простого числа; г) куба какого-либо простого числа. Следует напечатать ответ ДА или НЕТ.
32. Разрезание прямоугольника на квадраты.


61. Найти наибольший общий делитель всех чисел из заданного промежутка

62. Сократить дробь. Даны натуральные числа a и b. Сократить дробь
 
63. Найдите пять троек натуральных чисел (x; y; z), удовлетворяющих условию
 
64. Б. Кордемский указывает одно интересное число 145, которое равно сумме факториалов своих цифр: 145 = 1! + 4! + 5!. Он пишет, что неизвестно, есть ли еще такие числа, удовлетворяющие названному условию. Выясните, существуют ли еще такие числа?
65. Найти трехзначное число, являющееся точным квадратом числа a, и такое, чтобы произведение его цифр было равно a - 1.
66. Найти все натуральные решения уравнения в интервале [1; 20]

67. Найдите какие-нибудь три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат целого числа, большего единицы.
68. Нетрудно указать тройку квадратов целых чисел, образующих арифметическую прогрессию: 1, 25, 49. Найдите еще три такие тройки (из квадратов чисел, не имеющих общего делителя, т. е. взаимно простых).
69. Найти три таких простых числа, чтобы их сумма была в 5 раз меньше их произведения.
70. Попробуйте найти решения задачи Ферма
 на некотором промежутке [a, b] для показателей из промежутка [1, 30].
71. Попытайтесь найти пять идущих подряд целых чисел, таких, чтобы сумма квадратов двух наибольших из них равнялась сумме квадратов трех остальных?
72. Некоторое четное число является суммой двух точных квадратов. Докажите, что его половина является суммой двух точных квадратов.
73.
Каждое из чисел 9, 25, 49, 81 при делении на 8 дает остаток 1. Что это: случайность или же этому закону подчинены квадраты всех нечетных чисел?
74. Пусть у целых чисел A и B последние k цифр одинаковы. Докажите, что у чисел
 и
 (n - любое натуральное) также k последних цифр одинаковы (ограничиться случаями n = 2, 3, 4).


75. Покажите, что любое натуральное число и его пятая степень оканчиваются одной и той же цифрой.
76. Некоторое четное число является суммой двух точных квадратов. Докажите, что его половина является суммой двух точных квадратов.
77. Покажите, что квадрат числа, являющегося суммой двух точных квадратов, также можно представить в виде суммы двух точных квадратов.
78. Покажите, что произведение двух целых чисел, из которых каждое есть сумма квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы двух точных квадратов.
79. Покажите, что n7- n делится на 42 (n - натуральное число).
80. Рассмотрим числа вида 22 + 1 (их называют иногда "числами Ферма"); при n = 2, 3, 4 мы получим числа 17, 257, 65537. Эти числа оканчиваются на 7. Докажите, что при любом натуральном n, больше 1, числа этого вида оканчиваются семеркой.
81. Сложили каких-то 3 целых числа, и их сумма разделилась на 6. Докажите, что сумма кубов тех же чисел также разделится на 6.
82. Покажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть точным квадратом.
83. Число 365 нечетное. В то же время 365 можно представить в виде разности двух точных квадратов: 365 = 392 - 342 и 365 = 1832
- 1822. Докажите, что любое нечетное число можно представить в виде разности точных квадратов.
84. Целое число x заключено между 0 и 60 (0 < x < 60). При делении числа x на 3, 4, 5 получили соответственно остатки a, b, c. Докажите, что x равен остатку от деления числа 40a + 45b + 36c на 60. (На этом основан фокус - угадывания задуманного числа по остаткам от деления этого числа на 3, 4, 5.)
85. Число 148 делится на 37. Переставим в нем первую цифру с начала в конец: получится 481. Оно тоже делится на 37. Снова первую цифру (4) на последнее место. Опять получим число, которое делится на 37. Верно ли аналогичное свойство для каждого трехзначного числа, делящегося на 37?
86. Если дана последовательность 15 чисел a1, a2, a3, ..., a15, то можно построить новую последовательность чисел b1, b2, b3, ..., b15, где bi равно количеству чисел первой последовательности, меньших ai, i = 1, 2, ..., 15.


96. Сколько можно составить трехзначных чисел из нечетных цифр, если каждую из этих цифр использовать только один раз?
97. Сколько трехзначных чисел можно составить из всех цифр так, чтобы цифры в числах не повторялись?
98. Собрание, на котором присутствует 20 человек, избирает в президиум двух человек, один из которых должен быть председателем, а другой - секретарем. Каким числом способов это можно сделать?
99. Сколько различных слов, каждое из которых содержит 4 буквы, можно составить из букв слова  выборка?
100. Сколько различных четырехзначных чисел можно написать при помощи цифр 0, 1, 2, ..., 9?
101. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23?


102. Определить число всех диагоналей 5-, 8 -, 12 - и 15 - угольников?
103. Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязаниях. Сколькими способами можно это сделать?
104. У одного человека есть 7 книг по информатике, а у другого - 9 книг. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом по две книги?
105. Для премий на олимпиаде по информатике выделено 3 экземпляра одной книги, два экземпляра другой и один экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек и никому не дают двух книг сразу? Та же задача, если никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены две или три различные книги.
106. Во скольких точках пересекаются 8 прямых линий, если две из них параллельны между собой и через каждую точку пересечения проходит не более двух прямых?
107. Вычислить сумму четырех крайних членов одиннадцатой строки треугольника Паскаля.
108. Сколько хорд можно провести через 4 точки, лежащие на одной окружности?
109. На отрезке AB дано пять точек: C, D, E, F, K. Сколько различных отрезков, включая отрезок AB, получилось при этом?
110. Сколькими способами группу учащихся из восьми человек можно разбить на две подгруппы, состоящие из трех и пяти учеников.
111. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
112
Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?
113. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
114. Найти число точек пересечения диагоналей, лежащих внутри выпуклого n-угольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке.



115. Известно, что при каждом взвешивании равновозможна как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при пяти взвешиваниях получатся три положительные ошибки?
116. Из урны, содержащей белый и черный шары, извлекают шар, записывают его цвет и возвращают в урну. После n извлечений получаем кортеж длины n из букв Б и Ч. Какова вероятность, что он содержит k букв Б?
117. Для данного участника игры вероятность наброса кольца на колышек равна 0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках кольца три кольца окажутся на колышке, если броски кольца считать независимыми?
118. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при четырех независимых испытаниях или трех приборов при шести испытаниях?
119. Партия изделий содержит 5% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание четырех изделий одно окажется бракованным?
 


120. Автоматическая штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% отклонений от принятого стандарта. Определить вероятность наличия в партии из 600 клемм от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту.
121. Нужно исследовать 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0.8. Определить вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 350.
122. В каких границах находится частость наступления события при 1200 независимых испытаниях, вероятность отклонения которой от числа 2/3 равна 0.9857? Каковы границы частоты наступления события в этой задаче?
123. При массовом выпуске некоторой продукции бывает в среднем 4% брака. Определить вероятность того, что в партии из 625 единиц продукции отклонение частости от указанного процента брака будет менее, чем 0.02.
124. Средний процент нарушений работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12%. Вычислить вероятность того, что из 200 телевизоров более 160 выдержат гарантийный срок.
125. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью прорастания 0.9 для каждого семени. Найти границу абсолютной величины отклонения частости взошедших семян от вероятности p = 0.9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью P = 0.995.
126. было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число принявшихся деревьев больше 250, если вероятность, что отдельное дерево приживется, равна 0.8.
127. В некоторой местности имеется 3 % больных малярией. Производится обследование 500 человек. С какой вероятностью среди обследованных окажется
 больных малярией?
Вероятность некоторого события равна 0.4 в каждом из n испытаний. Найти вероятность того, что:
а) Частость наступления события при n = 1500 отклонится от p = 0.4 в ту или другую сторону меньше, чем на 0.02.
б) Число появления события будет заключено между 1) 570 и 630; 2) 600 и 660; 3) 620 и 680; 4) 580 и 640.
в) В каких граница находится та частость события при n = 1200, вероятность отклонения которой от p = 2/3 равна 0.985? В каких границах заключено число появления событий в этой задаче?
г) Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы вероятность того, что отклонение частости m/n от вероятности p = 3/8 в ту или другую сторону будет меньше, чем на 0.01, была равна 0.995?


128. Значение измеряемого теодолитом угла X имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, равным 8''. Найти вероятность того, что ошибка измерения угла не превзойдет по абсолютной величине 10''.
129. Станок автомат изготавливает валики. Контролируется их диаметр X. Считается, что X - нормально распределенная случайная величина со средним значением a = 10 мм. Какова средняя квадратическая ошибка, если с вероятностью 0.990 диаметр заключен в интервале (9.7; 10.3)?
130. В каких границах следует ожидать величину диаметра валика в предыдущей задаче с вероятностью 0.9973?
131. Случайная величина распределена по нормальному закону, Известно, что математическое ожидание ее равно 10 и среднее квадратическое отклонение равно 5. Определить вероятность того, что случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу (7; 12).
132. Случайная величина распределена по нормальному закону. Ее математическое ожидание равно 10 и среднее квадратическое отклонение составляет 5. Определить вероятность того, что отклонение значений случайной величины от математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине
=2.
133. Известно, что вес некоторых плодов, выращиваемых в совхозе, подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 175 г. и
 = 25. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) заключен в пределах от 125 до 250 г; б) не менее 250 г; в) не более 300 г.
134. Длина детали - случайная величина, распределенная по нормальному закону, со средним значением 20 см и дисперсией, равной 0.2 см2 . Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет заключена в пределах от 19.7 до 20.3 см.
135. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону со средним значением, равным 20 м и средним квадратическим отклонением 40 м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную сторону не более чем на 30 м.
136. Изготовленные цехом детали по размерам диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием 4.9 см и средним квадратическим отклонением 0.5 см.

Содержание раздела