Паскаль. Основы программирования


Упражнения


75. Покажите, что любое натуральное число и его пятая степень оканчиваются одной и той же цифрой.

76. Некоторое четное число является суммой двух точных квадратов. Докажите, что его половина является суммой двух точных квадратов.

77. Покажите, что квадрат числа, являющегося суммой двух точных квадратов, также можно представить в виде суммы двух точных квадратов.

78. Покажите, что произведение двух целых чисел, из которых каждое есть сумма квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы двух точных квадратов.

79. Покажите, что n7- n делится на 42 (n - натуральное число).

80. Рассмотрим числа вида 22 + 1 (их называют иногда "числами Ферма"); при n = 2, 3, 4 мы получим числа 17, 257, 65537. Эти числа оканчиваются на 7. Докажите, что при любом натуральном n, больше 1, числа этого вида оканчиваются семеркой.

81. Сложили каких-то 3 целых числа, и их сумма разделилась на 6. Докажите, что сумма кубов тех же чисел также разделится на 6.

82. Покажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть точным квадратом.

83. Число 365 нечетное. В то же время 365 можно представить в виде разности двух точных квадратов: 365 = 392 - 342 и 365 = 1832

- 1822. Докажите, что любое нечетное число можно представить в виде разности точных квадратов.

84. Целое число x заключено между 0 и 60 (0 < x < 60). При делении числа x на 3, 4, 5 получили соответственно остатки a, b, c. Докажите, что x равен остатку от деления числа 40a + 45b + 36c на 60. (На этом основан фокус - угадывания задуманного числа по остаткам от деления этого числа на 3, 4, 5.)

85. Число 148 делится на 37. Переставим в нем первую цифру с начала в конец: получится 481. Оно тоже делится на 37. Снова первую цифру (4) на последнее место. Опять получим число, которое делится на 37. Верно ли аналогичное свойство для каждого трехзначного числа, делящегося на 37?

86. Если дана последовательность 15 чисел a1, a2, a3, ..., a15, то можно построить новую последовательность чисел b1, b2, b3, ..., b15, где bi равно количеству чисел первой последовательности, меньших ai, i = 1, 2, ..., 15.


- Начало -  - Назад -  - Вперед -



Книжный магазин