Паскаль. Основы программирования


Математическое ожидание


 

Рассмотрим дискретную случайную величину X, которая принимает следующие значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk. Произведем n независимых испытаний для определения значений величины X, и пусть каждое значение xi встретится ni раз (i = 1, 2, ..., k), так что n1 + n2 + ... + nk = n.

Этот процесс очень похож на n - кратное бросание игральной кости, а значения x1, x2, ..., xk на выпадение соответствующего числа очков (1, 2, 3, 4, 5, 6); n1, n2, n3, ..., nk

- на число выпадения этого числа очков.

Среднее арифметическое из полученных значений определяется формулой:

                     

                 (1)

(каждое значение надо учитывать слагаемым столько раз, сколько раз оно встретилось!).

Представим среднее арифметическое

 в следующем виде:

                    

             (2)

При большом числе испытаний (n) относительные частоты ni/n будут близки соответствующим вероятностям

ni/n = pi

= P(X = xi),

тогда, значение среднего арифметического x будет приблизительно равно

Определение. Математическим ожиданием MX дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений xi на их вероятности pi:

Если множество возможных значений дискретной случайной величины X бесконечно, то математическое ожидание будет выражаться суммой бесконечного ряда:

При этом мы всегда будем предполагать, что этот бесконечный ряд абсолютно сходится (т.е. имеет конечную сумму), в противном случае считается, что математическое ожидание случайной величины не существует.

 

Математическое ожидание MX называют также средним значением случайной величины X, подчеркивая тем самым статистический смысл этого понятия (статистическим аналогом математического ожидания служит среднее арифметическое из эмпирических значений случайной величины).

Надо заметить, что в отличие от среднего арифметического значения, которое само по себе является случайной величиной, так как зависит от числа испытаний, математическое ожидание является числом, которое связано только с законом распределения случайной величины.

Математическое ожидание MX называют еще центром распределения случайной величины X.

Это название произошло из-за аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек, расположенных на одной прямой; если на оси x в k точках с координатами x1, x2, ..., xk сосредоточены массы p1, p2, ..., pk, то координата xc центра тяжести системы находится по формуле

для распределения вероятностей

и результат становится равным

 




- Начало -  - Назад -  - Вперед -



Книжный магазин