Паскаль. Основы программирования


Числовые характеристики биномиального распределения


 

При подсчете математического ожидания и дисперсии биномиального распределения воспользуемся методом математической индукции.

Для упрощения расчетов представим случайную величину X - число успехов при n-кратном повторении испытания - в виде суммы более простых величин. В качестве таких величин возьмем индикаторы успехов: 1 - "успех", 0 - "неудача". Таким образом, индикатор Xk принимает значение 1 в случае успеха при k-ом повторении испытания и значение 0 в противном случае. Поэтому

X = X1 + X2

+ ... + Xn,

так как эта сумма состоит из единиц и нулей, причем число единиц в ней равно числу успехов при n-кратном повторении испытания.

Отсюда следует, что

MX = MX1 + MX2

+ ... + MXn

 (в силу свойства линейности математического ожидания).

Так как биномиальное распределение связано с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, то индикаторы X1, X2, ..., Xn

- независимые случайны величины; поэтому можно применить и теорему сложения дисперсий, что дает

DX = DX1 + DX2

+ ... + DXn.

По условию задачи вероятность успеха при каждом повторном испытании одна и та же и равна p. Поэтому распределение вероятностей любого индикатора Xk

дается таблицей

1

0

 

p

q

где q = 1 - p; k = 1, 2, ..., n.

Непосредственный подсчет математического ожидания и дисперсии индикатора Xk приводит нас к следующему результату:

Следовательно, для биномиального распределения имеем

MX = np,

DX = npq,

и, значит,

Математическое ожидание и дисперсия относительной частоты X/n:

Мы пришли к очень важному, применительно к программированию, выводу.

Математическое ожидание относительной частоты случайного события есть вероятность этого события. Формула среднего квадратического отклонения показывает, что рассеяние относительной частоты уменьшается с увеличением числа повторений испытания.

 

Пример 3. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.3.


- Начало -  - Назад -  - Вперед -



Книжный магазин